Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert

Erstes Kapitel. Gauß.- Allgemeines.- Angewandte Mathematik.- Astronomie.- Ceres.- Störungstheorie, Pallas.- Allgemeine Resultate.- Geodäsie.- Landesvermessung.- Differentialgeometrie.- Physik.- Allgemeines, Alexander v. Humboldt.- Wilhelm Weber.- Die Elektrodynamik vor Gauß und Weber.- Gauß und Weber.- Erdmagnetismus, Kugelfunktionen.- Potentialtheorie.- Elektrodynamik.- Reine Mathematik.- Biographisches.- Arithmetik, Algebra, Analysis.- Nachlaß, Tagebuch.- Gauß’ Entwicklungsgang.- Sachliche Ausführungen.- Zahlengitter und quadratische Formen.- Elliptische Funktionen usw.- Allgemeine elliptische Funktionen, doppelt periodische Funktionen, Modulfunktion.- ?, ??, g2g3; ?-Funktionen.- Thetafunktionen.- Stufentheorie, Multiplikation und Teilung.- Komplexe Multiplikation.- Modulformen und Modulfunktionen.- Elliptische Integrale und arithmetrisch-geometrisches Mittel.- Kritische Leistungen.- Fundamentalsatz der Algebra.- Grundlagen der Geometrie, nichteuklidische Geometrie.- Allgemeinwürdigung.- Zweites Kapitel Frankreich und die École Polytechnique in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts.- Entstehung und Organisation der Schule.- Mechanik und mathematische Physik.- Allgemeines.- Poisson.- Fourier.- Cauchy.- Biographisches.- Cauchys Werke; Elastizität und Optik.- Sadi Carnot.- Poncelet, Coriolis.- Geometrie.- Monge.- Monges Schule.- Dupin.- Carnot d. Ält.- Poncelet.- Analysis und Algebra.- Cauchy.- Grundlegung der Analysis und Infinitesimalrechnung.- Differentialgleichungen.- Komplexe Funktionen.- Abflauen des mathematischen Lebens in Frankreich.- Galois.- Die Galoissche Theorie.- Drittes Kapitel Die Gründung des Crelleschen Journals und das Aufblühen der reinen Mathematik in Deutschland.- Allerlei Pläne in Berlin; Crelle.- Analytiker des Crelleschen Journals.- Dirichlet.- Zahlentheorie, Analysis.- Mechanik und mathematische Physik.- Abel.- Biographisches und Allgemeines.- Zum Abelschen Theorem.- Wettkampf mit Jacobi.- Jacobi.- Elliptische Funktionen, Thetareihen.- Die Königsberger Schule.- Geometer des Crelleschen Journals.- Gegensatz der Richtungen.- Moebius.- Plücker.- Physik.- Geometrie.- Zum Pascalschen Satz.- Dreieckskoordinaten, beliebiges Raumelement.- Plückersche Formeln.- Steiner.- Projektive Erzeugung.- Isoperimetrisches Problem.- Viertes Kapitel. Die Entwicklung der algebraischen Geometrie über Moebius, Plücker und Steiner hinaus.- Herausarbeitung einer rein projektiven Geometrie.- Staudt.- Definition der allgemeinen projektiven Koordinaten.- Moderne Erweiterung auf das irrationale Gebiet.- Deutung des Imaginären in der projektiven Geometrie.- Beispiel: Die neun Wendepunkte einer ebenen Kurve dritter Ordnung.- Chasles und seine Schule.- Historische Interessen.- Ausbildung der Lehre vom Kugelkreis.- Beispiel: Die konfokalen Flächen zweiten Grades.- Cayley.- Allgemeine projektive Maßbestimmung.- System der Geometrie auf projektiver Grundlage; nichteuklidische Geometrie, Klein; Beltrami, Clifford.- Die parallellaufende Entwicklung der Algebra; die Invariantentheorie..- Anfänge und Hauptlinien der Entwicklung.- Historischer Verlauf.- Jacobi.- Hesse.- Beispiel: Wendepunkte einer ebenen Kurve n-ter Ordnung.- Cayley, Sylvester.- Salmon.- Schlußbemerkungen zur Theorie der Formen.- Interessante Einzelprobleme.- Der Raum von n Dimensionen und die allgemeinen komplexen Zahlen..- Allgemeines, Widerstände und Mißverständnisse.- Spiritisten.- Positive Ausbildung und Anwendung der Theorie; Lagrange, Cauchy, Cayley.- Plücker.- Riemann.- Graßmann.- Die Ausdehnungslehre.- Axiomatisches zur Arithmetik, höhere komplexe Zahlen.- SpezialUntersuchungen.- Pfaffsches Problem.- Lineale Konstruktionen.- Die Graßmannianer.- Hamilton.- Die Quaternionen: Auffassung als Drehstreckung des Raumes.- Kritik; Cayleys Matrixrechnung.- Fünftes Kapitel. Mechanik und mathematische Physik in Deutschland und England bis etwa 1880..- Mechanik..- Exkurs über das klassische System der Mechanik.- Hamiltons Arbeiten zur Optik und Mechanik.- Strahlensysteme.- Konische Refraktion.- Die charakteristische Funktion und das Prinzip der variierenden Wirkung.- Optik.- Geschick der Hamiltonschen Arbeiten auf dem Kontinent.- Kummers Strahlensysteme.- Mechanik, die Hauptfunktion.- Die Hamiltonschen oder kanonischen Differentialgleichungen.- Jacobis Arbeiten zur Mechanik.- Kanonische Variable, Leitfunktion.- Integrationsmethoden der kanonischen Differentialgleichungen.- Rouths Umformungen.- Über englischen Unterrichtsbetrieb.- Zyklische Systeme.- Kinetische Theorie der Materie.- Anhang: Exkurs über die mechanische Wärmetheorie.- Mathematische Physik.- Allgemeines.- Franz Neumann und die Königsberger Schule.- Neumanns Kristallographie, Optik und Elektrodynamik.- Kirchhoffs Spektroskopie, Mechanik und Wärmestrahlungstheorie.- Die Entwicklung in Berlin.- Allgemeines, die Physikalische Gesellschaft.- Helmholtz.- Naturphilosophie, Satz von der Erhaltung der Energie.- Hydrodynamik, Wirbeltheorie.- Öffentliche Stellung.- Die Entwicklung in England.- Green, MacCullagh.- Stokes, W. Thomson.- Methode der elektrischen Bilder und Thermodynamik.- Geophysik und Nautik.- Vortextheorie der Materie.- Anhang: Thomson-Taits’ „Treatise“.- Maxwell.- Die elektromagnetische Lichttheorie.- Beziehungen zur Mechanik, Gibbs.- Zusammenhang mit den Ableitungen MacCullaghs.- Charakterisierung Maxwells.- Schluß.- Sechstes Kapitel. Die allgemeine Funktionentheorie komplexer Veränderlicher bei Riemann und Weierstraß.- Gegenüberstellung.- Bernhard Riemann.- Biographisches, allgemeiner Überblick.- Riemanns Funktionentheorie.- Besondere Arbeiten außerhalb der sonstigen Reihe.- Allgemeine Charakterisierung.- „Analytische Funktion“ bei Riemann.- Die Riemannsche Fläche, insbesondere algebraischer Funktionen 256 Beziehungen zur mathematischen Physik, Existenztheoreme.- Beweismethoden; das Dirichletsche Prinzip.- Das Dirichletsche Prinzip bei Riemann.- Weierstraß’ Kritik und ihre Folgen.- H. A. Schwarz und die Rettung des Dirichletschen Prinzips 265 Klein, Hilbert.- Theorie der linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- Allgemeines, die Monodromiegruppe.- Die hypergeometrische Reihe.- Fuchs.- Das Riemannsche Problem.- Die Verbreitung der Riemannschen Ideen.- Der hyperelliptische und ultraelliptische Fall; Prym.- C. Neumann, Clebsch.- Weitere Verbreitung der Riemannschen Funktionentheorie 273 Herausgabe von Riemanns Werken, H. Weber, Dedekind, Noether, Wirtinger.- Weiterbildung durch Klein und Poincaré.- Schlußbemerkungen.- Karl Weierstraß..- Biographisches.- Weierstraß’ Funktionentheorie.- Anknüpfung an Jacobi und Gudermann.- Die Al- und ?-Funktionen.- Weierstraß’ allgemeines Programm, die Zeit bis 1854.- Berufung nach Berlin; Allgemeines.- Weierstraß’ Vorlesungen, systematischer Aufbau der Theorie.- Allgemeiner Überblick über Weierstraß’ Funktionentheorie.- Theorie der elliptischen Funktionen.- Einordnung in die Stufentheorie.- Historisches; Eisenstein, Gauß.- Verbreitung der Weierstraßschen Theorie.- Lehrbücher: Stolz; Biermann, Forsyth, Harkness-Morley; Schwarz, Halphen, Tannery-Molk.- Frankreich: Hermite.- Abelsche Funktionen.- Weiterbildung der Theorie.- Sonja Kowalevsky.- Siebentes Kapitel. Vertiefte Einsicht in das Wesen der algebraischen Gebilde..- Weiterführung der algebraischen Geometrie..- Impuls durch Riemann.- Clebsch und seine Schule.- Die ebene C3 und das Abelsche Theorem.- Von den birationalen Transformationen der Kurven.- Die beliebige Cn.- Homogene Variable, die C4.- Beliebige Cn.- Clebsch und Gordan, Brill und Noether.- Riemann-Rochscher Satz.- Die Normalkurve der ?.- Weiterentwicklung bei den Abelschen Funktionen.- Algebraische Raumkurven.- Algebraische Flächen.- Von den Kurven auf dem einschaligen Hyperboloid.- Von den algebraischen Zahlen und dem Parallelismus ihrer Theorie mit derjenigen der algebraischen Funktionen..- Die Anfänge der Theorie, Einheiten, ideale Faktoren, Kummer.- Verallgemeinerung bei Kronecker und Dedekind, Ideale.- Analogie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen; Dedekind, Weber, Weierstraß.- Weitere Schicksale der Theorie, Dedekind-Weber.- Hurwitz, Hilbert, Minkowski.- Hilbert, Theorie der algebraischen Formen.- Beispiel: Raumkurve dritter Ordnung.- Hilberts Zahlbericht.- Exkurs über Galoissche Theorie.- Übertragung auf die Zahlkörper.- Schluß, Ausblick auf weitere Aufgaben.- Achtes Kapitel. Gruppentheorie und Funktionentheorie, insbesondere automorphe Funktionen..- Gruppentheorie..- Grundbegriffe.- Geschichtliches, Vertauschungsgruppen und Gleichungstheorie von Lagrange über Galois bis C. Jordan.- Endliche Gruppen linearer Substitutionen, reguläre Körper.- Weiterführung; Anwendung auf die Kristallographie.- Automorphe Funktionen..- Vorbemerkungen.- Zusammenschluß von Gruppentheorie und Funktionentheorie.- Anknüpfung an die Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- Exkurs über die hypergeometrische Reihe.- Übergang zu den Gruppen linearer Substitutionen.- Konforme Abbildung und Spiegelungsprinzip, Zusammenhang mit den regulären Körpern.- Das Ikosaeder.- Ableitung der Ikosaedergleichung.- Ikosaedergleichung als Normalgleichung.- Die Auflösung der beliebigen Gleichung fünften Grades.- éloge historique über die regulären Körper.- Der Allgemeinbegriff der eindeutigen Dreiecksfunktionen.- Elliptische Modulfunktionen.- Historische Ausführungen.- Gauß, Riemann bis zum Picardschen Satz.- Abel, Jacobi, Hermite.- Die Transformation der elliptischen Funktionen, Galois, Hermite.- Allgemeines Programm.- Die Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe.- Die Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe.- Das Grenzkreistheorem der automorphen Funktionen.- H. Poincaré.- Biographisches.- Poincarés Arbeiten von 1881.- 1882.- Riemann.- Namenverzeichnis.